Wenn im Hypovertrag nichts dazu steht, müsste der Schuldbrief (wenn es einer ist, der auf den Inhaber lautet) nach Tilgung der Schuld (erfolgter Umfinanzierung) dem neuen Geldgeber ausgehändigt werden. Oft steht im Hypovertrag, die Festhypo würde nach Ablauf in eine variable umgewandelt, dann gelten deren Kündigungsfristen.
Der Schuldbrief ist ja das Dokument, mit dem die Sicherheit verwertet werden kann, d.h. ohne Schuldbrief kein Geld von der neuen Bank. Aus dem gleichen Grund rückt ihn die alte Bank erst raus wenn die Schuld getilgt ist.
Frag den Berater der neuen Bank was für Gebühren anfallen und wie das üblicherweise läuft.